ลิมิตของฟังก์ชัน , ลิมิตซ้าย , ลิมิตขวา , การหาลิมิตด้วยวิธีลิมิตซ้าย/ขวา , การหาลิมิตด้วยวิธีแทนค่า , ความจริงของลิมิต
ลิมิตของฟังก์ชัน
การที่ \(x \) เข้าใกล้จำนวนจริงใด ๆ เช่น 5 สามารถเข้าใกล้ได้
1) จากด้านซ้าย (ด้านที่ค่าน้อยกว่า 5)
จะเป็นตำแหน่งที่น้อยกว่า 5 นิดเดียว
(เข้าใกล้จากทางด้านซ้าย, ด้านลบ)
เขียนแทนด้วย \(x → 5^- \)
2) จากด้านขวา (ด้านที่ค่ามากกว่า 5)
จะเป็นตำแหน่งที่มากกว่า 5 นิดเดียว
(เข้าใกล้จากทางด้านขวา, ด้านบวก)
เขียนแทนด้วย \(x → 5^+ \)
กรณี 1 ถ้าการที่ \(x \) เข้าใกล้ 5 ทางด้านซ้าย \(x → 5^- \)
แล้วทำให้ \(f(x) \) มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงหนึ่ง เช่น 8
จะเรียก 8 ว่าเป็นลิมิตซ้ายของ \(f(5) \)
กรณี 2 และถ้าการที่ \(x \) เข้าใกล้ 5 ทางด้านขวา \(x → 5^+ \)
แล้วทำให้ \(f(x) \) มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงหนึ่ง เช่น 9
จะเรียก 9 ว่าเป็นลิมิตขวาของ \(f(5) \)
จากกรณีข้างต้น
\(\lim\limits_{x \to 5^- }f(x)=8 \)
\(\lim\limits_{x \to 5^+ }f(x)=9 \)
ทำให้ : \(\lim\limits_{x \to 5^- }f(x) ≠ \lim\limits_{x \to 5^+ }f(x) \)
ข้อสรุป : ฟังก์ชัน f(x) ไม่มีลิมิตที่ x= 5
แต่ถ้า
\(\lim\limits_{x \to 5^- }f(x)=8 \)
\(\lim\limits_{x \to 5^+ }f(x)=8 \)
ทำให้ : \(\lim\limits_{x \to 5^- }f(x) = \lim\limits_{x \to 5^+ }f(x) \)
ข้อสรุป : ฟังก์ชัน f(x) มีลิมิตที่ x= 5 และมีลิมิตเท่ากับ 8
ต.ย.โจทย์ หาลิมิตด้วยวิธีลิมิตซ้าย/ขวา
จงหาค่าของ
1) \(\lim\limits_{x \to 2} {f(x) } \ เมื่อ \ f(x) = \begin{matrix}4 – x^2, \ x\le 2 \\ x^2-4 ,\ x> 2 \end{matrix} \)
2) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 0}{f\left(x\right)\ } เมื่อ f\left(x\right)= \) \(\ \frac{2x}{\left|x\right|} \)
ตัวอย่างโจทย์ หาลิมิตด้วยวิธีแทนค่า
จงหาค่าของ
1) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 2}{f\left(x\right)\ } เมื่อ f\left(x\right)=\ 2x^2-x+3 \)
2) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 1}{f\left(x\right)\ } เมื่อ f\left(x\right)= \) \(\ \frac{2x\ +1}{x\ -\ 1} \)
3) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 3}{f\left(x\right)\ } เมื่อ f\left(x\right)= \) \(\ \frac{x^2\ -\ 9}{x\ -\ 3} \)
ความจริงของลิมิต (ใช้ในการทำโจทย์)
เมื่อ \(c \) เป็นค่าคงตัว ,
\(\lim\limits_{x → a} f(x) = A , \)
\(\lim\limits_{x → a} g(x) = B \)
1) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{c\ =\ c\ \ } \)
2) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{x\ =\ a\ } \)
3) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{{x}^n\ =\ {a}^n\ } \)
4) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{cf\left(x\right)\ =\ cA\ } \)
5) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}[{f\left(x\right)}\pm{g\left(x\right)}] \)
\(=\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{f\left(x\right)}\pm\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{g\left(x\right)} \) \(=\ A\pm\ B\ \)
6) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}[{f\left(x\right)}⋅{g\left(x\right)}] \)
\(=\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{f\left(x\right)⋅\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{g\left(x\right)\ =\ A⋅\ }B\ } \)
7) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] \) \(= \) \(\frac{\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{f\left(x\right)\ }}{\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{g\left(x\right)\ }} \)
\(=\frac{A}{B}\ \) \(,\ B\neq\ 0 \)
8) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}\ \left[f(x)\right]^n{=\left[\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{f\left(x\right)}\right]^n=\ A^n} \)
9) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}\sqrt[n]{f(x)}\ {=\ \sqrt[n]{\lim\limits_{x\ \rightarrow\ a}{f\left(x\right)}}=\sqrt[n]{A}} \)
ต.ย.โจทย์ ความจริงของลิมิต
1) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 1}{7\ =\ 7\ \ } \)
2) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 5}{x\ =\ 5\ } \)
3) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 2}{{5⋅ x}^3\ =\ {5⋅2}^3=40\ } \)
4) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 4}{3x^2\ =\ 3⋅4^2=\ 3⋅16=48\ } \)
5) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 5}{\left(3x^2+4\right)=\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 5}{3x^2}+\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 5}{4}} \)
\(=3\left(5\right)^2\ +\ 4\ \ \ =\ 79 \)
6) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 3}{\left[\left(x+1\right)\left(x-2\right)\right]\ \ } \)
\(=\ \lim\limits_{x\ \rightarrow\ 3}{\left(3+1\right)\ ⋅\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 3}{\left(3-2\right)\ \ }\ } \)
\(=(4)(1)\ \ \ =\ 4 \)
7) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 10}\ \frac{x\ +\ 5}{x\ -\ 5}{\ =\ \frac{15}{5}\ \ } \) \(=\ 3 \)
8) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 1}\ \left(x+4\right)^3{\ =\ 5^3\ =\ 125\ \ } \)
9) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 10}\sqrt[3]{x-2}\ {\ =\ \sqrt[3]{8}=\ 2\ \ } \)
โจทย์ จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้
1) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 5}({3x+1)\ } \)
2) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 2}({x^2-3x+1)\ \ } \)
3) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ -1}\frac{(-3x+2)}{(x^3+4)}{\ } \)
4) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 3\ }\frac{(x-3)}{(x^3-1)}{\ } \)
5) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 3}{\frac{(x^2-9)}{(x-3)}\ \ } \)
6) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 2}{\frac{(x^3-8)}{(x-2)}\ \ } \)
7) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 3}{\frac{(x^2+3x-28)}{(x-3)}\ \ } \)
8) \(\lim\limits_{x\ \rightarrow\ 9}{\frac{(x-9)}{(\sqrt{x}-3)}\ \ } \)