ลำดับ คือ อะไร , ลำดับเลขคณิต, อนุกรม คือ อะไร , อนุกรมเลขคณิต
ลำดับ คือ
ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก (\(I^+ \)), n ตัวแรก
{\({(1,3),(2,7),(3,11),(4,15)} \)}
{\({(1,-5),(2,0),(3,5),(4,10),…} \)}
{\({(1,8),(2,6),(3,4),(4,2),…} \)}
{\({(1,a_1 ),(2,a_2 ),(3,a_3 ),(4,a_4 ),…} \)}
มี 2 แบบ
1) ลำดับจำกัด
\(3,7,11,15,19 \)
\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,… ,a_9 \)
2) ลำดับอนันต์
\(-5,0,5,10,15,… \)
\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,… \)
หลักในการเขียนลำดับ
1) เขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป
\(1,2,3,4,5,… \)
\(11,12,13,14,15,… \)
\(3,6,9,12,15,… \)
\(4,7,10,13,16,… \)
2) เขียนเฉพาะพจน์ทั่วไปของลำดับ
\(a_n=n \)
\(a_n=n+10 \)
\(a_n=3n \)
\(a_n=3n+1 \)
โจทย์ การหาพจน์ใด ๆ ของลำดับ
- จงหา 4 พจน์แรกของลำดับ
1.1 \( a_n=7n-3 \)
1.2 \( a_n=3n+4 \)
1.3 \( a_n=-5n+2 \)
1.4 \( a_n=\ {10}^n-1 \)
1.5 \( a_n=\ 2^{-n} \)
1.6 \( a_n=\ n!-1 \)
1.7 \( a_n=\left(-1\right)^n \frac{\left(2n+1\right)}{\left(n-1\right)} \) - จงหา 4 พจน์แรกของลำดับ
2.1 \(a_n=5+ (-1)^n \)
2.2 \(a_n=(2)^n+3 \)
2.3 \(a_n=n^2+n \)
2.4 \(a_n=-n^2+2n+5 \)
2.5 \(a_n=(-1)^n \)
ลำดับเลขคณิต คือ
ลำดับที่ “ผลต่างจากพจน์ขวามือ (n+1) ลบด้วยพจน์ซ้ายมือ (n) ที่ติดกัน จะมีค่าคงตัวเสมอ”
\(a_n= a_1+(n-1)d \)
\(d=\frac{\left(a_n-a_1\right)}{\left(n-1\right)} \)
\(n= \frac{\left(a_n-a_1\right)}{\left(d\right)}+1 \)
\(a_n= (d)(n)+c \)
ตัวอย่างโจทย์ ลำดับเลขคณิต และแนวคิด
1) เขียนสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต -5, -1, 3, …
2) จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต
2.1) 10, 7, 4, 1, …
2.2) 1, 5, 9, …
2.3) -3, 2, 7, …
2.4) 23, 15, 7, …
2.5) -3, -3, -3, …
3) จงหาพจน์ที่ 20 ของลำดับเลขคณิต 8, 13, 18, …
เทคนิคสำคัญ (ของลำดับเลขคณิต)
1) \(a_9-a_1 = (9-1)d \)
2) \(a_1+ a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3 \)
3) สำหรับลำดับเลขคณิตใด ๆ
\(x ̅=Mean= \frac{(a_1+a_n )}{2} \)
4) ถ้า \(x, y, z เรียงตัวกันเป็นลำดับเลขคณิต \)
\(Y = \frac{(x+z)}{2} \)
โจทย์ ลำดับเลขคณิต
1) จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตที่ \(a_4=30, a_8=58 \)
2) จงหาพจน์ที่ 90 ของลำดับเลขคณิตที่ \(a_5=30, a_18=56 \)
3) จงหาพจน์ทั่วไป ถ้า \(a_1, a_2,a_3, a_4 \) เป็นลำดับเลขคณิตที่ \(d<0 \) โดยพจน์ที่มีค่าน้อยที่สุดคือ -87 และผลรวมทั้งสี่พจน์เท่ากับ 222
4) ถ้า \(10, a_1, a_2,a_3, 38 \) เป็นพจน์ห้าพจน์เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต จงหา \(a_1, a_2,a_3 \)
5) ถ้า 8 และ 23 เป็นพจน์สองพจน์ของลำดับเลขคณิต ที่มีพจน์อีกสี่พจน์เรียงกันอยู่ระหว่างพจน์ทั้งสอง จงหาพจน์สี่พจน์ตรงกลางนี้
6) จงหาค่า n ที่ทำให้ลำดับเลขคณิต 8, 5, 2, … มี \(a_n=-100 \)
7) 205 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลำดับเลขคณิต -15, -10, -5, …
8) ลำดับเลขคณิต 10, 18, 26, 34, … , 730 มีกี่พจน์
9) ถ้า \(2x, 3x, 7x-9 \) เป็นลำดับเลขคณิต จงหา \(x \)
10) ระหว่าง 10 กับ 900 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่ 6 หารลงตัว
11) ระหว่าง 10 กับ 900 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่ 11 หารลง
12) ตั้งแต่ 70 ถึง 500 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่ 7 หารลงตัว
13) ตั้งแต่ 70 ถึง 500 มีจำนวนเต็มทั้งหมดกี่จำนวน
14) ตั้งแต่ 70 ถึง 500 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่ 7 หารไม่ลงตัว
15) ตั้งแต่ 70 ถึง 500 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่ 5 หารลงตัว
16) ตั้งแต่ 70 ถึง 500 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่ 5 และ 7 หารลงตัว
17) ตั้งแต่ 70 ถึง 500 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว แต่หารด้วย 7 ไม่ลงตัว
18) จงหาว่ามีจำนวนเต็มกี่จำนวนระหว่าง 5 ถึง 200 ซึ่ง
18.1) หารด้วย 3 ลงตัว
18.2) หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1
18.3) หารด้วย 3 หรือ 5 ลงตัว
18.4) ลงท้ายด้วยเลข 3
19) มีจำนวนเต็มกี่จำนวนระหว่าง -70 ถึง 800 ซึ่งหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 3
20) จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตที่ผลบวกสามพจน์แรกคือ 9 และผลบวกของกำลังสามของแต่ละพจน์คือ 153
21) จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตที่ผลบวกสี่พจน์แรกคือ 28 และผลบวกของกำลังสองของแต่ละพจน์คือ 216
อนุกรม คือ
ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับตั้งแต่ตัวที่ 1 ถึงตัวที่สนใจ (n)
เขียนแทนด้วย \(S_n \) เช่น
ลำดับ \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,… ,a_n \) จะมีอนุกรมดังนี้
\(S_2= a_1+a_2 \)
\(S_3= a_1+a_2+a_3 \)
\(S_4= a_1+a_2+a_3+a_4 \)
\(S_5= a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \)
\(S_n= a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+ …+a_n \)
ตัวอย่าง ลำดับ 2, 4, 6, 8, 10 จะมีอนุกรมดังนี้
\(S_3= 2+4+6=12 \)
\(S_4= 2+4+6+8=20 \)
\(S_5= 2+4+6+8+10=30 \)
อนุกรมจำกัด คือ อนุกรมที่ได้จากลำดับจำกัด แทนด้วย \(S_n \)
(\(a_1+a_2+a_3+a_4+ …+a_n \))
อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมที่ได้จากลำดับอนันต์ แทนด้วย \(S_∞ \)
(\(a_1+a_2+a_3+…+a_n+ … \))
อนุกรมเลขคณิต คือ
อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต โดยมีสูตรการหา \(S_n \) ดังนี้
\(S_n= \frac{n}{2} (a_1+ a_n) \)
หรือ \(S_n= \frac{n}{2} [2a_1+(n-1)d] \)
ตัวอย่าง ให้ 3, 6, 9, 12, 15, … เป็นลำดับเลขคณิต จงหา \(S_5 \)
\(S_5=3+6+9+12+15=45 \)
หรือใช้สูตร
\(S_5= \frac{5}{2} (3+ 15)=45 \)
หรือใช้สูตร
\(S_5= \frac{5}{2} [2(3)+(5-1)(3)]=45 \)
ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิตหนึ่ง มี \(a_1=5,a_2=9 \) จงหา \(S_8 \)
\(𝑑= 𝑎_2−𝑎_1=9−5=4 \)
\(𝑆_{8} = \frac{8}{2} [2(5)+(8−1)(4)]=152 \)
โจทย์ อนุกรมเลขคณิต
1) จงหา \(S_{20} \) ของลำดับเลขคณิตที่ \(a_1=30, a_{20}=68 \)
2) จงหา \(S_{40} \) ของลำดับเลขคณิตที่ \(a_1=-3, a_{40}=75 \)
3) จงหา \(S_{15} \) ของลำดับเลขคณิตที่ \(a_1=-12, a_5=4 \)
4) จงหา \(S_{10} \) ของลำดับเลขคณิตที่ \(a_1=-8, a_7=-44 \)
5) จงหา \(S_{21} \) ของลำดับเลขคณิตที่ \(a_3=12, a_{10}=61 \)
6) จงหา \(S_{16} \) ของลำดับเลขคณิตที่ \(a_{11}=-15, a_{13}=-21 \)
7) จากข้อ 5 จงหา \(S_n \) และ \(S_{(2n+1)} \)
8) พจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งเท่ากับ 20 และพจน์ที่ 11 มีค่าเป็นสี่เท่าของพจน์ที่ 3 จงหาผลบวก 15 พจน์แรก
9) ในลำดับเลขคณิตชุดหนึ่ง พจน์ที่ 4 เท่ากับ 3 และพจน์ที่ 10 มีค่าเป็นสามเท่าของพจน์ที่ 7 จงหาผลบวก 14 พจน์แรก